sábado, 3 de mayo de 2014

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ELIPSE




 es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.



 (forma de una elipse en la antiguedad)

ELEMENTOS DE UN ELIPSE

 

 Focos

 son los puntos fijos f1 y f2



 

 Eje focal

es la recta que pasa por los focos

 

 

 

 

 

 

 

centro

es el punto m de la elipse

  eje normal

es la recta L que pasa por la M

  eje mayor

es el segmento v1v2= 2a de la elipse

 

 

 

 

 

  eje menor

es el segmento b1b2= 2b de la elipse



 

DIBUJOS DEL ELIPSE

EL JARDINERO

El metodo se basa en la definición más corriente de la elipse, como lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos es constante. Los clavos o las chinchetas se colocan en el lugar de los focos, y la cuerda debe medir lo mismo que el eje mayor (2a). En el ejemplo de la foto al lazo de cuerda se le debe añadir la distancia de los focos. Con la cuerda tensa se mueve el lápiz o material de dibujo rodeando por completo los dos focos.
 Se denomina "del jardinero" a este método porque sirve para trazar en el suelo elipses de gran tamaño y precisión suficiente, con medios modestos.


 








Modo de determinar los focos

 El modo de determinar los focos a partir de los ejes, o un eje a partir de otro y los focos, se basa en la definición. Dibujados los dos ejes principales, se toma con el compás la medida a de la mitad del eje mayor. Haciendo centro en un extremo del eje menor, el compás cruza por el eje mayor en los focos.



Método de radios vectores

 También denominado "por puntos"; con este método dibujamos un número suficiente de puntos mediante el compás. Como en el método tradicional visto antes usamos los radios vectores y la propiedad de que la suma de los radios vectores de un punto es igual a la medida del eje mayor.
Dados dos ejes principales y determinados los focos, se toman puntos al azar sobre el eje mayor entre el centro O y uno de los focos. Generalmente tres o cuatro, y preferiblemente cerca del foco por comodidad del dibujo

ECUACION DE UN ELIPSE

 En coordenadas cartesianas

 Forma cartesiana centrada en el origen

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1
donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse
es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2εa, siendo ε la excentricidad y a el semieje mayor.

 

 

 

 

 

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:
\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

 

En coordenadas polares

Forma polar centrada en origen

En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:
r(\theta)=\frac{1}{\sqrt{\cfrac{\cos^2\theta }{a^2}+\cfrac{\sin^2\theta}{b^2 } }}

Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad \scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} ), es:
r (\theta )=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon ^2 \cos ^2(\theta )}}
Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la  ε es la excentricidad.
Si no se quiere pre-calcular la excentricidad \scriptstyle \varepsilon \to \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} convendrá utilizar la ecuación , en caso contrario utilizar la ecuación .

 Formas polares centradas en un foco

En coordenadas polares, con el origen en el foco F2, la ecuación de la elipse es:
r(\theta) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos\theta}
Para el foco F1:
r(\theta) = \frac{a(1-\varepsilon^2)}{1-\varepsilon\cos\theta}
El ángulo \theta de las ecuaciones  es la llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las mismas a (1-\varepsilon^{2}) es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado l. El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.

Formas paramétricas

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) y siendo a el semieje mayor y b el menor, es:
\begin{cases} x = h+a\cos\alpha\\ y = k+b\sin\alpha \end{cases}
con \alpha\in [0,2\pi)\ .\ \alpha no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino la anomalía excéntrica de la elipse. La relación entre \alpha y θ es
{\rm{tg}} \theta = {b \over a}\ {\rm{tg}} \alpha.
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (h,k) en la que el parámetro \theta sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado (h,k) es:
\begin{cases} x = h+\frac{1}{\sqrt{\frac{cos(\theta)^2 }{a^2 }+\frac{sin(\theta)^2}{b^2 } }} \cos\theta\\ y = k+\frac{1}{\sqrt{\frac{cos(\theta)^2 }{a^2 }+\frac{sin(\theta)^2}{b^2 } }} \sin\theta\end{cases}
con \theta\in [0,2\pi). El parámetro \theta es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en (h,k).

Área interior de una elipse

El área de la superficie interior de una elipse es:
\acute{A} rea=\pi \cdot a \cdot b
Siendo a y b los semiejes.4

Perímetro de una elipse

El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.
Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de una elipse:
P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

Propiedades notables

La elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson y Morley.


vídeos de como resolver una elipse con centro 0,0

 

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